Formelsammlung Trigonometrie | MatheGuru.com (2024)

Diese Formelsammlung gibt eine Übersicht über die wichtigsten trigonometrischen Begriffe, Zusammenhänge und Identitäten.

Winkel

In diesem Artikel werden die griechischen Buchstaben Alpha (α), Beta (β), Gamma (γ) und Theta (θ) verwendet, um Winkel darzustellen. Verschiedene Maßeinheiten für Winkel werden benutzt, die bekanntesten sind Grad (°), Bogenmaß (rad), und Gon (gon).

1 Vollkreis = 360 Grad = 2π rad = 400 gon

Die folgende Tabelle zeigt die Umrechnung der wichtigsten Winkel zwischen den verschiedenen Maßeinheiten:

Vielfache von 30°

Vielfache von 45°

Wenn nicht anders im Artikel angegeben, wird das Bogenmaß verwendet. Sollte Grad verwendet werden, wird dies durch das Gradzeichen (°) angezeigt.

Trigonometrische Funktionen

\( \sin \left(\theta\right) = \cos \left(\dfrac{\pi}{2} – \theta \right) \)

Der Tangens ist die dritte wichtige trigonometrische Funktion. Er kann als Funktion des Sinus und Cosinus geschrieben werden:

@@ tan(theta) = sin(theta)/cos(theta) @@

Die Funktionen Sekans (sec), Cosekans (csc) und Cotangens (cot) sind die Kehrwerte der Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion. Sie sind wie folgt definiert:

Inverse trigonometrische Funktionen

Trigonometrischer Pythagoras

Die grundlegende Beziehung zwischen Sinus und Cosinus wird als trigonometrischer Pythagoras bezeichnet. Es ist eine der wichtigsten trigonometrischen Identitäten:

\( \large{ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 } \)

\( \cos^2\theta \) entspricht dabei \( \cos\theta\cdot\cos\theta \) oder \( \big(\cos(\theta)\big)^2 \). Der trigonometrische Pythagoras leitet sich von Satz des Pythagoras ab, der lautet:

\( \large{ a^2+b^2=c^2 } \)

Wobei c die Länge der Seite gegenüber dem rechten Winkel in einem rechtwinkeligen Dreieck ist. Im Einheitskreis folgt aus dem Satz des Pythagoras, dass x² + y² = 1 ist. Die Gleichung kann für den Sinus und Cosinus gelöst werden. Daraus folgt:

\( \sin\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{und} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 – \sin^2\theta} \)

Verwandte Identitäten

Wenn man die Identitäten Pythagoras durch cos²θbzw.sin²θ teilt, erhält man zwei neue Identitäten:

\( 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{und}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \)

Im Zusammenspiel mit dem Sekans, Cosekans und Cotangens kann man jede trigonometrische Funktion mit jeder anderen ausdrücken. Aus den Zusammenhänge zwischen den einzelnen trigonometrischen Funktionen zueinander entstehen diegoniometrischen Formeln:

Periodizität

\( \large{ f(x) = f(x+p) } \)

p ist dabei die Periode. Diese Eigenschaft lässt sich auch gut mit dem Graphen einer trigonometrischen Funktion veranschaulichen. Beim Sinus (siehe Graph rechts) beispielsweise kann man sehen, dass eine Periode aus einem kompletten Hügel oberhalb und einem unterhalb der x-Achse besteht. Danach wiederholt sich dieses Muster. Beim Sinus richtet sich die Periode nach den Winkeln, die er darstellen muss – in diesem Fall einem Vollkreis mit 360° oder 2π. Daher sagt man auch, der Sinus sei 2π periodisch. Andere trigonometrische Funktionen haben andere Periodizitäten, je nachdem, wie sie definiert wurden:

Verschiebungen

Sinus und Cosinus lassen sich so nach links oder rechts verschieben, dass beide Funktionen deckungsgleich werden. Dies trifft auch noch auf weitere trigonometrische Funktionen zu:

Flächeninhalt

Für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks gibt es viele Formeln, einige von ihnen sind hunderte von Jahren alt.

Die Symbole in den Formeln entsprechen den Längen, wie sie im Dreieck rechts eingezeichnet sind.

Die Funktion A berechnet den Flächeninhalt (vom englischen Wort Area = Fläche). Einige Bücher werden ein kleines Dreieck in den Index der Flächenfunktion setzen (\( A_\blacktriangle \)), wenn mehrere Flächenfunktionen aufgelistet werden, die alle A(x) genannt werden. Da wir in diesem Artikel nur die Fläche von Dreiecken berechnen, ist dies nicht nötig

Die einfachste Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks leitet sich aus der Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms ab. Die halbe Fläche eines Parallelogramm mit der Höhe h und der Breite b entspricht der Fläche eines Dreiecks mit der Höhe h und der Breite b:

\( A=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot h \)

Dies kann mit den Höhen noch erweitert werden:

\( A\;=\;\dfrac{1}{2}ah_{a}\;=\;\dfrac{1}{2}bh_{b}\;=\;\dfrac{1}{2}ch_{c} \)

Mit Trigonometrie

Die Berechnung der Fläche richtet sich danach, welche Werte bekannt sind.

Zwei Seitenlängen, ein Winkel

\( A \;=\; \dfrac{1}{2}ab\sin \gamma \;=\; \dfrac{1}{2}bc\sin \alpha \;=\; \dfrac{1}{2}ca\sin \beta \)

Zwei Winkel, eine Seite

\( \begin{align}A &= \dfrac {b^{2}(\sin \alpha)(\sin (\alpha + \beta))}{2\sin \beta} \\ A &= \dfrac{a^{2}}{2(\cot \beta + \cot \gamma)} \;=\; \dfrac{a^{2} (\sin \beta)(\sin \gamma)}{2\sin(\beta + \gamma)}\end{align} \)

Drei Seiten

Wenn nur die Längen des Dreiecks bekannt sind, kann die Fläche mit dem Satz des Heron berechnet werden:

\( A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)

Wobei s der halbe Umfang des Dreicks ist: \( s= \dfrac{a+b+c}{2} \).

Drei äquivalente Möglichkeiten, den Satz des Heron zu schreiben, sind:

\( \begin{align}A &= \dfrac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)} \\[1.5ex] A &= \dfrac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} \\[1.5ex] A &= \dfrac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}\end{align} \)

Im Koordinatensystem

Einige Aufgaben verlangen, dass die Fläche eines Dreiecks anhand von drei Punkten im Koordinatensystem errechnet werden soll.

Eine Möglichkeit wäre, den Abstand zwischen den einzelnen Punkten zu errechnen und dann die Fläche mithilfe des Satzes des Heron zu berechnen. Der Abstand zwischen zwei Punkten im kartesischen Koordinatensystem wird mit folgender Formel berechnet:

\( d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \)

Eine weitere, wesentlich einfachere Methode ist, eine Matrix aufzustellen, bei der die erste Zeile die x-Koordinaten und die zweite Zeile die y-Koordinaten des Dreiecks darstellt. Die dritte Zeile besteht aus Einsern. Die Hälfte des Betrags der Determinante der Matrix entspricht dem Flächeninhalt des dazugehörigen Dreiecks.

\( A = \dfrac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \dfrac{1}{2} \big| x_A y_B – x_A y_C + x_B y_C – x_B y_A + x_C y_A – x_C y_B \big| \)

Höhen

Da ein Dreieck drei Ecken hat, gibt es insgesamt drei Höhen. Fällt man das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Dreiecksseite, so schneidet dieses Lot die Seite. Diese Strecke nennt man Höhe. Die Höhen werden mit einem kleinen h abgekürzt, wobei der Buchstabe der gegenüberliegenden Dreiecksseite in den Index des h geschrieben wird (siehe Diagramm oben).

Im Dreieck wird die Länge der drei Höhen mit folgenden Formeln berechnet:

\( h_{a}\;\;=\;\;b\sin \gamma \;\;=\;\;c\sin \beta \;\;=\;\;\ \dfrac{a}{\cot \beta +\cot \gamma } \;\;=\;\; \dfrac{2F}{a} \)

\( h_{b}\;\;=\;\;c\sin \alpha \;\;=\;\;a\sin \gamma \;\;=\;\;\dfrac{b}{\cot\gamma +\cot \alpha } \;\;=\;\; \dfrac{2F}{b} \)

\( h_{c}\;\;=\;\;a\sin \beta \;\;=\;\;b\sin \alpha \;\;=\;\;\ \dfrac{c}{\cot \alpha +\cot \beta } \;\;=\;\; \dfrac{2F}{c} \)

Seitenhalbierende

Die Strecke zwischen einer Ecke eines Dreiecks zu dem Punkt der die gegenüberliegende Seite in genau zwei gleichlange Strecken teilt, heißt Seitenhalbierende. Jedes Dreieck hat genau drei Seitenhalbierende: eine die von jeder Ecke zu der jeweils gegenüberliegenden Seite verläuft. Der Punkt, in dem sich alle drei Seitenhalbierenden schneiden, wird Schwerpunkt des Dreiecks genannt.

Die Seitenhalbierenden lassen sich anhand der Längen der Seiten a, b und c berechnen:

\( s_{a}\;\;=\;\;\dfrac{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}\;\;=\;\;\dfrac{\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }}{2}\;\;=\;\;\sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}+bc\cos \alpha } \)

\( s_{b}\;\;=\;\;\dfrac{\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}{2}\;\;=\;\;\dfrac{\sqrt{c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }}{2}\;\;=\;\;\sqrt{\dfrac{b^{2}}{4}+ca\cos \beta } \)

\( s_{c}\;\;=\;\;\dfrac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}\;\;=\;\;\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}{2}\;\;=\;\;\sqrt{\dfrac{c^{2}}{4}+ab\cos \gamma } \)

\( s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}\;\;=\;\;\dfrac{3}{4}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \)

Die Längen der Seiten a, b und c verhalten sich wie folgt, zu den Seitenhalbierenden:

\( \begin{align}a \;\;&=\;\;\ \dfrac{2}{3} \sqrt{-s_a^2 + 2s_b^2 + 2s_c^2} \;\;=\;\;\ \sqrt{2(b^2+c^2)-4s_a^2} \;\;=\;\;\ \sqrt{\dfrac{b^2}{2} – c^2 + 2s_b^2} \;\;=\;\;\ \sqrt{\dfrac{c^2}{2} – b^2 + 2s_c^2} \\[2ex] b \;\;&=\;\;\ \dfrac{2}{3} \sqrt{-s_b^2 + 2s_a^2 + 2s_c^2} \;\;=\;\;\ \sqrt{2(a^2+c^2)-4s_b^2} \;\;=\;\;\ \sqrt{\dfrac{a^2}{2} – c^2 + 2s_a^2} \;\;=\;\;\ \sqrt{\dfrac{c^2}{2} – a^2 + 2s_c^2} \\[2ex] c \;\;&=\;\;\ \dfrac{2}{3} \sqrt{-s_c^2 + 2s_b^2 + 2s_a^2} \;\;=\;\;\ \sqrt{2(b^2+a^2)-4s_c^2} \;\;=\;\;\ \sqrt{\dfrac{b^2}{2} – a^2 + 2s_b^2} \;\;=\;\;\ \sqrt{\dfrac{a^2}{2} – b^2 + 2s_a^2}\end{align} \)

Winkelhalbierende

Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Winkel mit gleicher Größe. Jeder Winkel hat nur eine Winkelhalbierende, demnach hat das Dreieck drei Winkelhalbierende. Die Entfernung jedes Punktes auf der Winkelhalbierenden von einer der Seiten des Winkels ist gleich.

Die Berechnung der Winkelhalbierenden lässt sich wie folgt durchführen (A ist der Flächeninhalt des Dreiecks und s der halbe Umfang):

\( \begin{align}w_{\alpha }\;\;&=\;\;\dfrac{2\cdot b\cdot c\cdot\cos\br{\dfrac{\alpha }{2}}}{b+c}\;\;=\;\;\dfrac{2\cdot A}{a\cdot \cos\br{\dfrac{\beta -\gamma }{2}}} \;\;=\;\; \dfrac{2 \sqrt{b\cdot c\cdot s(s-a)}}{b+c} \\[2ex] w_{\beta }\;\;&=\;\;\dfrac{2\cdot c\cdot a\cdot\cos\br{\dfrac{\beta }{2}}}{c+a}\;\;=\;\;\dfrac{2\cdot A}{b\cdot\cos\br{\dfrac{\gamma -\alpha }{2}}} \;\;=\;\; \dfrac{2 \sqrt{c\cdot a\cdot s(s-b)}}{c+a} \\[2ex] w_{\gamma }\;\;&=\;\;\dfrac{2\cdot a\cdot b\cdot\cos\br{\dfrac{\gamma }{2}}}{a+b}\;\;=\;\;\dfrac{2\cdot A}{c\cdot\cos\br{\dfrac{\alpha -\beta }{2}}}\;\;=\;\; \dfrac{2 \sqrt{a\cdot b\cdot s(s-c)}}{a+b}\end{align} \)

Additionstheoreme

Diese Additionstheoreme wurden im 10. Jahrhundert von dem persischen MathematikerAbū al-Wafā‘ Būzjānī aufgestellt. Eine Möglichkeit, sie zu beweisen, ist durch Anwendung dereulerschen Formel:

Das Plus-Minus-Zeichen (±) und das Minus-Plus-Zeichen (∓) bedeuten, dass, wenn auf der einen Seite des Gleichheitszeichens ein Plus verwendet wird, auf der anderen Seite mit Minus subtrahiert wird:

\( \cos(\alpha \xplain{\mathbf{+}} \beta) \;\;=\;\; \cos (\alpha) \cos (\beta) \xplain{\mathbf{-}} \sin (\alpha) \sin (\beta) \) und\( \cos(\alpha \xplain{\mathbf{-}} \beta) \;\;=\;\; \cos (\alpha) \cos (\beta) \xplain{\mathbf{+}} \sin (\alpha) \sin (\beta) \)

Steht ein Plus-Minus-Zeichen auf beiden Seiten, wird jeweils das selbe Zeichen verwendet:

\( \sin(\alpha \xplain{\mathbf{+}} \beta) \;\;=\;\; \sin (\alpha) \cos (\beta) \xplain{\mathbf{+}} \cos (\alpha) \sin (\beta) \)und\( \sin(\alpha \xplain{\mathbf{-}} \beta) \;\;=\;\; \sin (\alpha) \cos (\beta) \xplain{\mathbf{-}} \cos (\alpha) \sin (\beta) \)

Beziehungen zwischen trigonometrischen und komplexen Funktionen

Jede der drei trigonometrischen Funktionen lässt sich als Exponentialfunktion mit der imaginären Zahl i darstellen:

\( \cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2},\qquad\sin(x) = \dfrac{e^{ix} – e^{-ix}}{2i}, \qquad\tan(x) = \dfrac{e^{ix} – e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)

Eine besondere Verbindung zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen ist die Euler’sche Formel:

\( \large{ e^{\mathrm{i}\,\varphi} \;=\; \cos\left(\varphi \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( \varphi\right) } \)

Die Euler’sche Formel nimmt fürφ =π einen besonderen Wert an:

\( \LARGE{ {e}^{\mathrm{i}\,\pi} = -1 } \)

Dieser Zusammenhang zwischen e, πund i ist bekannt als die Euler’sche Identität. Die Formel beinhaltet die wichtigsten drei Konstanten der Mathematik und wird daher von vielen Mathematikern als die schönste Formel der gesamten Mathematik angesehen.

Analysis

In der Infinitesimalrechung (ableiten und integrieren) werden die Winkel stets im Bogenmaß gemessen, da andere Maße die Rechnungen nur unnötig verkomplizieren würden. Wenn trigonometrische Funktionen geometrisch definiert werden, können ihre Ableitungen durch Überprüfung zweier Grenzen gefunden werden. Der erste wichtige Grenzwert dabei ist:

\( \large{ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1 } \)

Dieser Grenzwert kann durch den Einheitskreis und den Einschnürungssatz bewiesen werden. Der zweite wichtige Grenzwert ist:

\( \large{ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x }{x}=0 } \)

und kann durch die Identität @@ tan(x/2) = (1 – cos(x))/sin(x) @@ bewiesen werden. Aufbauend auf diesen beiden Grenzwerten und nur mit dem Differentialquotientenund den Additionstheoremen kann die Ableitung von Sinus und Cosinus bewiesen werden. Wenn Sinus oder Cosinus als Taylorreihe definiert wird, können die einzelnen Ableitungen durch das Differenzieren von allen Termen (Term für Term) der Taylorreihe gefunden werden:

\( \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sin(x) = \cos(x) \)

Die übrigen Ableitungen können durch Anwenden der trigonometrischen Identitäten und Ableitungsregeln gefunden werden: